Page du cours de Maths 1 - Analyse (PEIP-1A)

Le cours sera dispensé sur tableau et il n'y aura pas de polycopié du cours, il vous est donc vivement recommandé de prendre en note l'intégralité du cours. Le premier contrôle aura lieu le 7 novembre à 08:00 (amphis à confirmer). Le deuxième et dernier contrôle aura lieu en 2026.

Cours

Voici une liste des séances, avec des brefs résumés et compléments éventuels qui apparaitront au fur et à mesure :

• Mardi 16 septembre : la droite réelle. Retour sur les entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, et enfin les réels et les opérations sur ces derniers, ainsi que l'ordre usuel. Définition de la propriété de la borne supérieure.
• Lundi 22 septembre : Propriété archimédienne des réels, valeur absolue et inégalités. Début du chapitre 2 sur les suites réelles : définition, représentation graphique, notion de suite majorée/minorée/bornée. Définition de la convergence, énoncé du fait que toute suite convergente est bornée (et sa contrapposée : si une suite n'est pas bornée, alors elle ne peut pas être convergente). Exemples: suite (n)_n∈ℕ (non convergente car non bornée) et suite (1/(n+1))_n∈ℕ (converge vers 0). Compléments à la séance (existence de racine de 2, preuve que la suite (1/(n+1))_n∈ℕ) tend vers 0). Les commentaires et questions sur cette fiche (par email) sont bienvenus, comme je viens de la taper il y a probablement des erreurs !
• Vendredi 26 septembre : Produit d'une limite par un réel, sommes et produits de limites, limites et inégalités. Théorème des gendarmes. Notion de divergence vers +∞ ou -∞. Suite croissante, suite décroissante, théorème sur la convergence des suites croissantes. Extractrices, notion de sous-suite (appelée aussi suite extraite), une suite converge ssi toutes ses sous-suites convergent vers la même limite. Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass (hors programme). Compléments à la séance avec les preuves de : convergente implique bornée, limite d'une somme, limite d'un produit.
• Mardi 30 septembre : Rappels sur les fonctions (injectivité, surjectivité, bijectivité). Intervalles, définition de la limite (à gauche et à droite également). Définition de la continuité. Produit et somme de fonctions continues. Théorème de la limite monotone.
• Mardi 7 octobre : Composition de limites, formes indéterminées, théorème de comparaison. Retour sur la continuité : la composée de fonctions continues est continue, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de la bijection continue. Rappel de la définition de dérivabilité.
• Mardi 21 octobre : Interprétation de la dérivée avec les développements limités à l'ordre 1, dérivée d'une composée, de la fonction réciproque. TAF. Début de la trigonométrie : manipulation de l'exponentielle complexe, définition de cos et sin à partir de cette dernière, formule d'addition.
• Vendredi 7 novembre (amphi Extension 10:15).
• Jeudi 13 novembre (amphi Extension 08:15).
• Vendredi 21 novembre (amphi Extension 10:15).
• Mardi 25 novembre (amphi Extension 08:15).
• Vendredi 12 décembre (amphi Extension 10:15).

TD

Voici le poly avec tous les énoncés de TD (14 séances), qui sera mis à jour de temps à autres :

• Mise à jour du 27 septembre : simplification de l'énoncé de l'exercice 19 (TD 3).

L'enseignant de TD est Julien Riton.

Ressources supplémentaires

• Le cahier de calcul pour les classes prépa est une bonne manière de palier à vos lacunes éventuelles en calcul. Pour bien débuter l'année, vous pouvez travailler les 4 premières séances de ce cahier (fractions, puissances, calcul littéral, racines carrées).
• Voici le CC1 de l'an dernier et son corrigé. Cette année, le format sera plus classique : les exercices ne seront pas au choix. La durée du CC1 sera de 1h15, il aura lieu vendredi 7 novembre à 8h15. Le programme portera sur tout ce qui aura été vu avant les congés.